非线性与线性的区别有哪些？

非线性与线性的区别有哪些？

非线性是自然界复杂性的典型性质之一，那么你对非线性了解多少呢？以下可见一斑：

什么是非线性

非线性(non-linear)，即 变量之间的数学关系，不是直线而是曲线、曲面、或不确定的属性，叫非线性。非线性是自然界复杂性的典型性质之一；与线性相比，非线性更接近客观事物性质本身，是量化研究认识复杂知识的重要方法之一；凡是能用非线性描述的关系，通称非线性关系。

狭义的非线性是指不按比例、不成直线的数量关系，无法用线性形式表现的数量关系，如曲线、曲面等。而广义上看，是自变量以特殊的形式变化而产生的不同于传统的映射关系，如迭代关系的函数，上一次演算的映射为下一次演算的自变量，显然这是无法用通常的线性函数描绘和形容的。很显然，自然界事物的变化规律不是像简单的函数图像，他们当中存在着并非一一对应的关系。如果说线性关系是互不相干的独立关系，那么非线性则是体现相互作用的关系，正是这种相互作用，使得整体不再是简单地全部等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。

线性与非线性的区别

非线性是相对于线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例，所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性，其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。

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线性

对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的：其一，叠加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的两个解，那么aψl+bψ2也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。”叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。

非线性与线性的区别有哪些？

非线性

在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：

其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对(aφ+bψ)的操作，等于分别对φ和ψ操作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。

其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量zui初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的zui基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。

对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致，其二物理变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。

关于非线性概念需要强调的是，线性或非线性的提法是相对于物理变量而言的，也就是说，只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据，而非物理变量的关系不能成为非线性与否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义的变量。例如分形理论中，简单分形的分维D是恒量，在无标度区间内lnN=DlnL，lnN与lnL是线性关系，但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。这里的物理变量是N和 L，而不是经过对数变换的nN与lnL，即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是N和L，而不是lnN和lnL，N与L的关系N=LD是非线性的，所以可得出分形是非线性的结论。再如，物价对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统计的棉花价格指数的无标度性)正是人们感兴趣的、对人们有意义的，而且两者的关系是非线性的，所以物价随时间的变化是一种非线性现象。

非线性的性质

非线性科学正处于发展过程之中，它所研究的各门具体科学中的非线性普适类，有已经形成的 (如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如适应性与自涌行为)，还会有将要形成的，所以非线性的性质还没有*呈现出来，这里也就不可能全面地讨论非线性的性质。下面仅从“非线性与线性的关系”、“非线性的物理机制”和“非线性与稳定性”三个方面作初步探讨。

非线性与线性是相对而言的，两者是一对矛盾的概念，一方面两者在一定程度上可以相互转化，另一方面两者又存在本质区别，再者两者同时存在于—个系统中，规定着系统相应方面的性质。

(1) 非线性与线性的密切

首先，在数学上一些线性方程可转化为非线性方程来解。物理上的一些非线性问题，也可以通过数学变换而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性的可积方程，从而求出了的解析解；一些非线性不强的问题，可用线性逼近方法将其转化为若干线性问题来求近似解，这是已在各门学科中广泛采用并相当有效的的方法。

其次，在某些情况下，由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，无助于更好地理解系统的行为，而从解的非线性形式中，我们却可以方便地得到所研究系统的重要性质。如：考虑这样一个简单方程：d2X/dt²+X=0，它的解是X=Acos(t)+Bsin(t)，从这个非线性形式中，我们容易知道它是个周期函数，满足cos(t+2π)=cos(t)，sin(t+2π)=sin(t)。而从cos(t)和sin(t)的解析形式中，极难证明其具有相应的周期性这一重要性质。所以，认为线性方程可以得到解析解， 非线性方程难以得到解析解，因而线性能给出比非线性更多的有用信息是不确切的。这意味着，对某些问题从非线性的角度考察不仅是可能的，而且有时也是必要的。

所以，线性与非线性在一定程度上是可以相互转化的，这表明了线性与非线性之间有密切的。

(2) 非线性与线性的本质区别

非线性与线性虽然可以通过数学变换而相互转化，在数学上有一定的，但是在同一视角、同一层次、同一参照系下，非线性与线性又是有本质区别的。

在数学上，线性函数关系是直线，而非线性函数关系是非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等；线性方程满足叠加原理，非线性方程不满足叠加原理；线性方程易于求出解析解，而非线性方程一般不能得出解析解。

在物理上，近线性问题(它不是我们所说的非线性问题)可用线性逼近方法求出一定度的解，即依据具体问题对度的要求，逐次解出若干个线性问题，把它们叠加起来，就能得到很好的近似解。但是对于非线性问题，由于存有小参数发散及收敛慢等问题，线性逼近方法将失效，特别是对于高速运动状态、强烈的相互作用、长时间的动态行为等非线性很强的情况，线性方法将*无能为力。线性逼近方法这些局限性，导致非线性方法的不可替代，在无法用线性方法处理的强非线性的地方，只能用非线性方法。线性逼近方法并非经常能奏效，这不光是方fa论问题，也是自然观问题，自然界既有量变又有质变，在质变中， 自然界要经历跃变或转折，这是线性所不能包容的。

(3) 非线性与线性在同一系统中的作用

非线性与线性有一定的又有本质区别，它们常同时存在于一个系统之中，规定着系统不同侧面的性质，一个确定的系统，一般都同时具有线性和非线性两种性质：

• 首先，在一个给定的非线性系统中，它的非线性性质决定它的平衡构造或说稳定机制是否存在，及存在的地方。

   

• 其次，系统的线性性质决定着系统关于其平衡点(稳定结构)的小振动的规律，即系统在稳定点附近的线性展开性质。

非线性与线性的区别有哪些？

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